[리만이 들려주는 적분1 이야기]차근차근 알아가요

리만이 들려주는 적분 1 이야기 ㅣ 수학자가 들려주는 수학 이야기 1
차용욱 지음 / 자음과모음 / 2007년 11월

 '쌓다', '모으다'의 뜻을 가진 적 積

'나누다', '부분'이라는 뜻의 분 分

한자의 뜻대로 풀이하면 '부분을 쌓다', 즉 '나눈 부분을 모으는 행위' 입니다.

- 본문 30쪽

지금은 적분이라는 말이 어렵게 느껴질수 있습니다. 하지만 갑자기 적분이라는 것을 배우게 되는 것이 아니라 초등학교 1학년부터 차근차근 그 단계를 밟아오고 있는 것입니다. 수학은 연계성이 있는 과목이라 개념을 정확히 이해하지 않고 다음 단계를 나아가면 사상누각이 될 수 있습니다. 초등학생인 친구들에게는 조금 낯설고 어려운 개념이지만 지금 배우고 있는 공부들이 고등학생이 되어 배우게 될 적분과 연계가 있다는 것을 알 수 있습니다.

적분에서 사용하는 기호는 독일의 수학자 라이프니츠가 창안했다고 합니다.  뉴턴과 라이프니츠는 미분, 적분을 동시에 발견한 수학자라고 합니다. 처음 만남은 화기애애 했지만 누가 먼저 발견했는지 따지고 싸우는 바람에 나중에는 쳐다보지도 않는 사이가 되었다고 합니다. 우선권 논쟁에서는 뉴턴이 이겼지만 후대 수학자들은 뉴턴의 미적분 기호보다는 라이프니츠의 기호를 더 선호했다고 합니다.

어려운 적분 이야기를 바로 설명 하는 것이 아니라 기초부터 차근차근 설명이 되어 있습니다. 각 장의 이야기가 끝날때마다 수업 정리를 통해 아이들에게 개념을 다시한번 정리해 줍니다. 초등학생인 아이가 전부 이해하지는 못하지만 이야기를 읽어가면서 적분이라는 개념의 바탕에는 어떤 것이 있는지 알아갑니다.

 

리만은  다른 수학자들에 비해 아이들에게는 조금은 낯선 인물입니다. 독일에서 태어난 리만은 여섯 형제가 있는 가난한 집에서 태어났다고 합니다. 좀더 많은 업적을 남길 수 있었지만 과로 탓에 40세때 결핵으로 세상을 떠납니다. 짧은 삶이였지만 그는 우리에게 많은 수학 이론을 남겼습니다. 리만 적분, 코시-리만 방정식, 리만 제타 함수와 리만 가설, 리만 다양체, 리만 기하학 등.

학창시절 적분을 공부하면서 그리 만만치 않다는 생각을 했습니다. 아이가 읽는 것을 옆에서 보며 그때 이 책을 만났으면 수학을 좀더 잘하지 않았을까하는 생각도 잠시 해보았습니다. 아이가 지금은 어렵게 읽고 있지만 앞으로 공부하면서 많은 도움을 줄거라는 생각이 드네요^^

[수학만점비법]할수 있다는 생각으로

12명 서울대 합격생들이 말하는 수학 만점 비법 ㅣ 서울대 합격생들이 말하는 만점 비법
이병훈 지음 / 이지북 / 2012년 1월

불과 몇달 사이를 두고 사람 맘이 이리도 변할 수 있단 말인가? 이제 고등학교에 입학하는 큰 아이. 얼마 전까지만 하더라도 대학은 먼 얘기처럼 들렸다. 하지만 어제 입학할 고등학교에 가서 신입생 등록을 하고 와서인지 바로 코 앞에 닥친 문제라는 생각이 드니 말이다. 학원을 다니지 않고 이제껏 버텨(?) 온 아이가 고등학교에 가서도 잘 할 수 있을까하는 걱정이 드는건 사실이다. 대학의 당락을 수학이 쥐고 있다고 해도 과언이 아닐 정도로 중요한 과목임에는 틀립없다. 많은 책들 중에서 이 책이 눈에 들어 온것은 서울대생들이 들려주는 수학을 만점받는 비법이라하니...수학을 만점을 받아 서울대에 들어 갈수 있는일이 꿈으로 끝날지 현실로 이루어질지 모르겠지만 아이와 함께 도전을 해볼수 있는 일이라는 생각이 들어서이다.

합격수기를 보면서 그들도 공부를 그리 쉽게 하지 않았다는 생각이 든다. 대부분 서울대생들은 머리가 좋아 우리가 여러 번 볼 것을 한번에 보고 이해력도 빠를거라는 생각이 들었다. 물론 그런 특별함을 가진 친구들도 있지만 대부분은 자신과의 싸움에서 이기고 쉽게 포기하지 않았다. 아이들도 특별함이 아닌 평범함으로 얼마든지 할 수 있다는 생각을 가질수 있을거라 생각한다.

시험은 고난이다. 세상에는 많은 고난들이 있다. 시험은 그중 가장 해결하기 쉬운 고난이다. - 본문 24쪽

같은 이야기 같지만 다들 자신만의 방법을 가지고 있다는 것은 확실하다. 그들이 들려주는 이야기 중 중요하지 않은것이 없고 모두 따라하고 싶은 비법들이다. 하지만 그 모든것을 다 해볼 수 없는 일. 그래서 자신을 먼저 파악하는 것이 중요하다는 생각이 든다. 그들이 들려주는 이야기를 무조건 따라하는 것이 아니라 나에게 맞는 방법을 찾아 그들이 알려주는 방법으로 공부해간다면 수학 만점의 길이 그리 멀지는 않을거라는 생각이 든다. 학생들이 경험으로 터득한 SECRET NOTE를 보면서 아이들은 좀더 구체적인 방법을 찾아낼 수 있다. 직접 그 시절을 보내고 수학을 해결해 나가면서 자신들이 터득한 비법들이라 어느 것하나 놓칠 수 없는 내용들이다.

수학 공부를 하면서 틀린 문제를 어떻게 해결해야할지 막막할때가 많다. 모르는 문제가 나오면 무조건 해답을 볼것인지 아니면 알수 있을때까지 계속 문제를 풀려고 노력해야 하는 것인지. 또한 틀린 문제를 모두 오답노트로 만들어야 하는지등에 대한 답답함이 있었는데 아이는 이 책을 통해 자신의 문제를 해결할 수 있어 좋다라는 이야기를 하였다. 학원을 다니지 않는 아이에겐 어쩌면 해답지가 선생님이였을지 모른다. 모르는 문제를 무조건 선생님께 여쭈어 볼 수는 없는일. 자신이 여러 번 생각을 하고 도저히 풀 수 없을때만 살짝 해답을 보는건 문제가 없을듯^^ 오답노트도 자신만의 방법으로 만들어갈 수 있는 답을 얻어 여러모로 아이에게 도움을 준 책이다.

또한 계획을 세울때도 구체적으로 시간을 쪼개어 활용하는 방법들이 나와 있으니 이제 대학이라는 문제를 앞에 두고 있는 친구들에게는 많은 도움을 주는 책이다. 수학이라는 어렵고 힘든 관문을 아이들이 쉽게 통과하기는 어려울 것이다. 하지만 포기하지 않고 자신만의 방법을 찾아 열심히 해보려는 마음을 가진다는 것 자체가 아이가 변하고 있다는 것이 아닐까?

아직은 많이 부족하지만 아이도 책을 읽고 자신만의 방법으로 문제를 해결하려 하고 오답카드를 만들어 수학이라는 두려움을 조금씩 떨쳐내려한다.

[나의 삼촌 브루스 리1]파란만장한 삶을 살아가는...

나의 삼촌 브루스 리 1
천명관 지음 / 위즈덤하우스 / 2012년 1월

난 어린 시절 이소룡보다는 성룡의 영화를 보면서 자랐다. 하지만 어린 시절 나에게도 이소룡은 존재한다. 그의 의문의 죽음이 더 마음을 아프게 하는건 그의 아들도 영화를 촬영하다가 죽음을 맞이했다는 것이다. 이소룡의 영화는 그리 많이 보지 않았지만 여자인 내게도 강한 인상을 남긴 것은 사실이다. 또한 그의 아들 브랜던 리의 유작이 된 크로우를 보면서 영화의 내용보다는 부자의 슬픈 죽음이 떠올라 영화를 보는 내내 마음이 무거웠던걸로 기억을 한다. 이소룡하면 누구나 '아비요~' 라는 말과 노란색 옷을 가장 많이 떠올릴 것이다. 어릴 적 남자 아이들이 '아비요~'라며 교실 안이나 골목길에서 노는 모습을 보면 왜이리 유치하던지...이 책을 읽으며 남자라면 더 많은 공감을 하지 않았을까하는 생각이 든다. 그들의 삶을 직접 경험하지 않고 들으며 지내왔기에 그들의 아픔을 직접 느끼기 보다는 객관적으로 볼 수 밖에 없다는 아쉬움이 남는다.

삼촌은 중학교에 입학하면서부터 누가 따로 시키지 않아도 학교가 끝나면 곧바로 집에 돌아와 지게를 지고 나가 꼴을 베어오거나 아버지를 따라 들에 나가 일손을 도왔다.(중략)

눈치밥을 먹는다는 게 그런 거였을까? 먹어보지 않은 사람이면 절대 그 맛을 알 수 없는 그것은 누가 달리 눈치를 주어서가 아니라 자신의 입장과 처지를 깨닫는 순간, 매일 먹던 밥이 갑자기 거칠게 느껴지고 매일 마시던 물이 쓰디쓰게 느껴져(생략) - 본문 46쪽~47쪽

상구가 들려주는 삼촌의 이야기. 어느 날 할아버지가 돌아가신 후 알게 된 삼촌의 존재. 삼촌은 그들과 가족이라는 이름을 가지고 함께 살고 있지만 가족의 테두리에 들어오지 못하고 주변을 맴돌수 밖에 없다. 서자라는 이름을 가진 삼촌 권도운. 그의 파란만장한 삶의 이야기를 상구가 담담히 들려주지만 우린 그 이야기를 담담히 보고 들을 수 없다. 그 시대의 삶은 누구에게나 혼란스럽고 알 수 없는 힘들이 자신을 움직이고 있다는 생각이 들었을 것이다.

누구에게나 멘토는있을 것이다. 하지만 삼촌에게는 이소룡이 멘토 그 이상인것이다. 자신의 삶이고 혹시 이소룡이 아닐까하는 생각까지 들게한다. 혹시 그에게 집착하고 있는건 아닐까하는 생각이 들기도 한다. 서자라는 남과 다른 운명은 가지고 태어난 삼촌은 누구에게도 자신을 내보이지 않으며 살아가고 있다. 참으로 폭풍같은 삶의 주인공이 아닐까? 시골에서 농사를 지으며 평범하게 살았다면 그리 많은 고초를 당하지 않았을것을..우리에겐 무모해 보이는 꿈이 그에게는 전부라는 생각이 든다.

시대가 남긴 슬픈 인물인것인지? 아니면 시대에 순응하지 못한 자의 슬픔인것인지? 참으로 혼한스러운 시기에 살았던 그의 삶을 보면서 많은 이들이 죽음의 공포를 느끼며 보냈던 고통의 시간들을 우린 한참 지난 후에 알게 되었으니... 지금도 밝혀지지 않은 진실로 인해 고통받고 있는 사람들이 있을지모 모른다는 생각이 든다.

무도인이라는 생각을 버리지 않고 살아가는 삼촌. 그 무서운 고통의 시간들을 겪어낸 삼촌이 자신이 아끼던 제자 종태와의 싸움을 보는 우리는 그들에게 앞으로 어떤 일들이 일어나게 될지 궁금함이 커져만 간다. 참으로 힘든 시대였기에 그의 삶도 그리 힘들었던것은 아닐런지...1권을 읽으며 더 이상 이소룡의 삶을 쫓는 이가  아니라 인간 권도운으로 살았으면 하는 소박한 바람을 가져본다.

[쌤콕 과학 5-1]혼자 힘으로

쌤콕 과학 5-1 - 2012
대교 편집부 엮음 / 대교(학습지) / 2011년 11월

쌤이 나만을 위해 콕 짚어주는 쌤콕

핵심을 잡아주는 것은 중요합니다. 아이들이 공부를 하면서 무엇이 중요한지 알고 그것을 스스로 찾아내면 좋겠지만 그러지 못한 경우가 많으니 콕 짚어준다는 말이 우리들에게 다가옵니다.

우선 만화를 통해 각 단원에서 배워야 할 내용을 알아갑니다.
짧은 내용이지만 중요한 핵심을 말해주니 배워야 할 내용이 무엇인지 알 수 있습니다.

개념 알기

꼭 알아야 할 내용들을 다루고 있어 아이들이 각 단원에서의 중요한 내용들을 알아갑니다.
그림 자료와 함께 자세한 설명이 되어 있어 아이가 혼자서도 내용을 이해하는데 그리 어려움이 없습니다.
중요한 내용은 형광색으로 표시되어 있지만 아이도 읽으면서 자신이 중요하다는 내용에는 줄을 그어가며 내용을 이해해 나갑니다.

기본 다지기

개념을 익히고 그것을 바탕으로 기본 문제를 풀어 나갑니다.
앞에서 개념을 정확히 이해했다면 어렵지 않게 문제를 해결 할 수 있습니다.

실력 올리기

기본 문제를 해결 한 후 한단계 높은 문제들을 풀면서 실력을 키워 갑니다.
응용 문제들을 잘 해결하면서 자신감도 생기고 다양한 문제들을 접해 볼 수 있습니다.
아무래도 한 단계 높은 문제들이라 그런지 기본 문제를 풀 때와는 달리 오답이 있습니다.
이런 문제들도 모르는 경우보다는 집중을 하지 않고 문제를 읽어서인지 스스로 틀린 이유를 찾아 내고 있습니다.

유형 익히기

여러 유형의 문제들을 접해 보면서 보는 시각을 넓혀 갈 수 있습니다.
자신이 익힌 개념이 어떤 유형으로 문제가 출제되는지 알아가고 그것을 익히면서 다시 한번 개념 정리도 할 수 있습니다.

중요한 문제들은 중요 콕이라 표시되어 있어 아이들이 다시 한번 그 문제를 중점적으로 살펴 볼 수 있습니다.

학원을 다니지 않고 공부하는 아이가 혼자서 다음 학기를 준비할 수 있을까하는 걱정이 있었습니다. 누군가의 설명을 듣고 이해를 한 후 문제를 풀어나가는 것이 아니라 오롯이 혼자 힘으로 교재를 읽고 문제를 해결해 나가는 것이 그리 쉬운 일은 아닐 것입니다. 하지만 아이가 이해하기 쉽고 자세한 설명으로 되어 있는 개념들을 읽으면서 혼자서 열심히 하는 모습을 보니 대견하다는 생각이 드네요. 어쩌면 혼자 힘으로 해 나가는 것이 더디고 느리겠지만 그래도 스스로 해냈다는 자신감이 생기지 않을런지^^

[명탐정 과학수사 파일]5.쇼핑몰의 미스터리

명탐정 과학 수사 파일 5 : 쇼핑몰의 미스터리 - 과학 심리 추리 동화 ㅣ 명탐정 과학 수사 파일 5
황문숙 지음, 김이랑 그림, 정윤경 감수 / 미래엔아이세움 / 2011년 12월

과학은 늘 아이의 발목을 잡는다. 그리 싫어하지는 않지만 늘 어렵다는 말을 하는 아이. 어디서 어떻게 접근해야 하는 것인가? 단지 과학 점수를 높이기 위해 교과서와 문제집을 푸는 것이 중요하지 않다는 생각이 든다. 우리의 생활 가까이에 과학은 늘 함께 하지만 미처 깨닫지 못하고 있는건 아닌지? 그래서 이 책을 아이가 좋아하는지 모르겠다. 어려운 과학을 재미있고 흥미있는 이야기로 이야기 하고 있으니..어느 새 5편을 만나게 되었다. 하지만 이 시리즈를 좋아하는 사람으로 마지막 이야기라 아쉬움이 많다. 물론 시즌 2가 나온다고 하지만 지성이와 마음이가 헤어진다니...그래도 시즌 2를 기다리는 마음으로 시즌 1의 마지막 이야기 속으로...

요즘 화두가 되고 있는 인터넷을  이용한 범죄. 이 책에서도 개인 정보를 유출하고 인터넷을 이용한 범죄 이야기를 다루고 있다. 독일에 계시는 부모님께 가야야할지 모르는 지성이는 이래저래 무거운 마음. 그것을 눈치 챈 마음이는 지성이의 마음을 풀어주려고 쇼핑몰에서 지성이와 만나기로 한다. 그곳에서 바쁜 부모님을  대신해 지성이에게 과학실험을 하며 과학에 대한 흥미를 갖게 해준 최대한 아저씨를 만난다. 지성이가 최대한 아저씨를 만난 기쁨도 잠시..쇼핑몰에서 일어난 강도 사건의 용의자로 지목된 최대한 아저씨. 최대한 아저씨의 결백을 주장하는 지성이와 마음이의 활약은 다시 한번 빛을 발하는데...

사건사고 현장에서 우리들이 자주 볼 수 있는 것은 지문 채취입니다. 지문으로 처음 범인을 잡은 사건은 아르헨티나의 '네코치아'라는 해변 마을에서 살해당한 두 명의 어린 아이 사건입니다. 심증은 있었지만 결정적 증거를 찾지 못하다가 문에 찍힌 피 묻은 지문으로 엄마가 범인으로 알아냈습니다. 물론 범인을 찾아냈지만 아이들의 엄마가 바로 범인이라는 비극적인 사건이였답니다.

그럼 핏자국은 어떻게 찾아 낼 수 있는 것일까요? 적혈구 속에 있는 헤모글로빈에 든 철분은 몇몇 물질을 만나면 색이 변한다고 합니다. 루미놀 시험은 루미놀 시약을 핏자국이 있을거라 의심되는 곳에 분무기로 뿌리면 푸른 형광빛을 띤다고 합니다. LNG시험은 LNG시약을 떨어뜨리면 청록색으로 변한다고 합니다. 이런 방법들을 통해 우리 눈에는 보이지 않지만 핏자국을 찾을 수 있는 거라 합니다.

조금 어려울 수 있는 이야기들이지만 아이들은 그리 어렵지 않게 받아들입니다. 지성이와 마음이 콤비를 보면서 사건을 어떻게 해결해나갈지 손에 땀을 쥐게 합니다. 흥미진진한 이야기 속에서 제 몫을 톡톡히 하는 두 친구의 모습이 시즌2에서는 어떻게 그려질지 벌써부터 기대가 됩니다.