유클리드 기하학 사고법

유클리드기하학, 문제해결의 기술 - 최소 지식으로 최대 아이디어를 만드는 수학적 사고법
박종하 지음 / 김영사 / 2023년 7월

왜 수학에 흥미가 없었을까? 수학 시험을 대비하는 공부를 해서였다. 문제를 가장 빠르게 푸는 단 하나의 방법을 찾아 익히다 보니, 다양한 방법으로 문제를 해결하는 즐거운 경험을 건너뛰었기 때문이다. 그것도 '계산'이란 방법만으로 수학 문제를 풀려고 했다.

유클리드가 살았던 고대 그리스에서는 십진법을 쓰지 않았다. 피타고라스의 정리를 증명할 때도 계산이 아닌 '닮음'을 활용해 기하학적인 증명을 했다. 계산보다 상상을 더 잘해야 했다. 상상하는 과정을 시간 낭비라고 여긴 중고등학교 시절 수학 공부는 우리에게 상상력을 경험하는 수학의 재미를 빼앗아버렸다.

'선행학습은 교육과정보다 앞서서 개념이나 공식 등을 배우는 것입니다. 하지만 그런 개념이나 공식으로 문제에 쉽게 접근하는 것이 오히려 다양하고 창의적인 접근 경험을 차단하는 역할을 할 수 있습니다. (p. 217)'


인류 최초의 수학은 어떤 것이었을까? 고대 그리스의 수학자들이 어떤 수학을 공부했을까? 답은 바로 유클리드기하학이다.

'고대 그리스 수학인 유클리드기하학은 닮음과 합동을 이해하고 활용하는 것에서 출발했습니다. (...)
탈레스가 이집트에서 닮음과 비례를 이용하여 피라미드의 높이를 정확하게 계산했다고 합니다. 유클리드기하학으로 문제를 해결했던 대표적인 일화네요. (p. 67)'

저자는 고대 그리스 수학자들이 마치 게임이라도 하듯이 인류 최초의 수학 푸는 모습을 상상했다. 유클리드기하학 문제 중 아이디어가 있는 문제 1,000개를 풀어보고 300개를 추린 다음, 특별한 수인 153 (1의 3승+5의 3승+3의 3승)개 문제를 선별해서 이 책에 실었다.

평면기하학만 다뤘고 초등학교 4학년 수준만 돼도 이 책의 모든 문제를 풀 수 있다기에 호기롭게 덤벼들었다가 당황했지만, 시간을 갖고 차근차근 풀면 (몇 문제 풀면서 흥미가 생겼기 때문에) 나름 재밌겠다는 생각이 들었다.

상상력을 동원해 문제를 해결할 수 있도록 유클리드기하학의 최소한의 지식과 유클리드식 사고법, 그리고 일곱 가지 문제 해결 기술을 알려준다.

동위각, 맞꼭지각, 엇각은 같다는 공리, 닮음과 합동, 그리고 수학에서 가장 중요한 공식인 피타고라스의 정리 (피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 400여 가지가 넘는다고 한다)까지... 수학 용어들은 학창 시절로 시간을 되돌려놓는다.


수학을 배우는 이유는 뭘까?
'사회에 나와서 수학은 절대 써먹을 일이 없다'라고 수포자들은 흔히 말한다. 이 말은 이솝우화 <여우와 신포도>가 생각나게 한다. 수학을 배우는 목적은 문제해결능력은 키우는 것이고, 그 방법은 문제를 파악하고 해결하는 아이디어를 찾아 문제를 다양하게 풀어보는 것뿐이다.

다만 학창 시절엔 시험을 대비하느라 여러 갈래의 길을 가보지 못했고, 지름길 한 가지만 배웠기 때문에 스스로 위로하기 위해 되지도 않는 수학 무용론을 펼친다. 자~ 이제라도 내 머릿속의 다양한 사고능력을 꺼내 그 즐거움을 만끽하고 싶다면, <유클리드 기하학, 문제해결의 기술>를 펼쳐 보시길...

'지식은 눈에 보이지만, 문제 해결 능력을 눈에 잘 보이지 않습니다. 그래서 문제해결능력을 챙기지 못하는 경우가 있는데요, 문제해결능력도 경험을 통하여 쌓고 키워가는 것입니다. 이 책을 통하여 수학적 사고력을 기르고, 문제해결능력을 키워보면 좋겠습니다. (...)
우리에게 필요한 것은 물고기가 아니라 물고기를 잡는 법입니다. 수학 지식이나 개념도 필요하지만 그런 지식과 개념을 활용하여 문제를 해결할 수 있는 문제해결능력을 이 책으로 경험하고 자연스럽게 키워보면 좋겠습니다. (p. 343, 344)'

덧) 소설이나 에세이 읽듯 단숨에 읽는 책이 아니다. 153개 문제 중 하나씩 하나씩 초콜릿 빼먹는 꺼내 풀어보면 즐거움이 된다. 시험을 앞두고 있지 않으니 못 풀더라도 아쉬울 건 없다. 언젠가 생각나겠지. 걷다가, 지하철 안에서, 밥 먹다가... 깨달음, 그 순간의 쾌감이란!

소크라테스의 변론, 크리톤

소크라테스의 변론·크리톤 - 플라톤의 대화편 ㅣ 마리 교양 1
플라톤 지음, 오유석 옮김 / 마리북스 / 2023년 6월

<소크라테스의 변론>은 기원전 399년 봄, 일흔의 나이인 소크라테스가 사형 당하기 전 법정 변론을 극화한 대화편이다.

'고발장 내용은 대체로 다음과 같습니다.
"소크라테스는 젊은이들을 타락시키고 폴리스가 믿는 신들을 믿지 않으며 새로운 다른 신적 존재들을 믿으며 죄를 짓고 있다." (p. 41)'

소크라테스는 자신이 법정을 선 이유를 고발장 내용과 다르게 말한다. 시인들, 장인과 정치가들, 연설가들을 각각 대표해서 송사를 제기한 멜레토스와 아뉘토스, 뤼콘이 품은 적개심이 고발당한 진짜 이유라는 것이다.

'카이레폰은 저보다 더 지혜로운 사람이 있는지 신탁을 구했습니다. 그러자 퓌티아의 무녀가 저보다 더 지혜로운 사람은 없다고 답했습니다. (p. 32)'

많은 사람들이 소크라테스에게 반감을 갖게 된 까닭은 델포이 신탁의 의미를 밝히려는 그의 행적 때문이다. 소크라테스는 신탁을 탐구하기 위해 지혜롭다고 생각되는 사람들, 즉 정치가, 시인, 장인들을 만나 대화한다.

'소크라테스는 'What is X?'라는 형식의 질문을 대화 상대자에게 던진다. 대화를 통해 해당 개념에 대한 대화 상대자의 정의가 타당하지 않음을 증명한다. 더 나아가 대화 상대자가 자신의 무지를 자각해서 참된 앎을 열망하도록 유도한다. (p. 152, 153)'
이들은 자신의 무지를 스스로 깨닫게 한 소크라테스에게 감사하기는커녕 분노한다.

유죄 판결 받은 후 소크라테스는 배심원들에게 어떤 형량도 자신에겐 무의미하고, 오히려 자신의 공과를 감안하면 올림피아 우승자들을 식사 초대하는 곳인 프뤼타네이온에서 대접받아야 할 사람이라고 한다. 그 덕분에 1차 투표에서 소크라테스의 무죄에 찬성하는 표를 던진 220명 중 (약이 많이 올랐을) 80명이 입장을 바꿔 사형이 확정된다.

소크라테스가 가진 죽음에 대한 태도는 죽은 후 이승이 있든지 없든지, 두 경우 모두 자신에게 이득이라는 입장이다. 자신처럼 훌륭한 삶을 산다면 신들께서 절대 무시하지 않을 테니 죽음에 대해 희망적인 태도를 취하라고 배심원들에 권한다.

변론 마지막에 소크라테스는 자기 자식들이 마땅히 해야 할 일을 하지 않으며 스스로 대단한 사람이라고 여길 경우 꾸짖어 줄 것을 부탁한다. 그리고 마지막 남긴 의미심장한 말은...

'이제 벌써 떠날 시간입니다. 저는 죽기 위해서 그리고 여러분은 살기 위해서 말입니다. 하지만 우리 가운데 어느 편이 더 나은 운명으로 나아가게 될지 신 외에는 그 누구도 분명히 알지 못합니다. (p. 98)'


플라톤의 대화 <크리톤> 소크라테스의 죽마고우 크리톤이 탈옥을 권유하는 논변과 그 논변에 대한 소크라테의 반박이 그 내용이다. 불의를 불의로 대갚음하는 것, 타인에게 해를 입히면서까지 탈옥하는 건 옳지 않다면서 죽음 앞둔 소크라테스가 친구 크리톤을 오히려 위로한다.

자신의 논리에 반박할 것이 더 있는지 크리톤에게 묻고 없다고 하자 그럼 자신을 내버려 두라며 사형을 받아들인다.
'그러면 오, 크리톤이여! 내버려 두세. 그리고 신께서 이렇게 인도하시니, 이대로 행하기로 하세. (p. 143)'


소크라테스의 변론 내용을 들여다보면, 소크라테스에게 목숨보다 중요한 건 옳고 그름을 따지는 일이다. 그는 평생 무엇이 옳은 일인가를 탐구한 철학자이다. '자신이 아는 게 없다는 사실을 안다는 것'이 소크라테스 스스로 지혜롭다 여긴 명제였다. 진정한 앎에 이르르기 위해서 필수 전제 조건은 '모든 것을 알고 있다는 생각'에서 해방되는 것이다.

공간의 진정성

공간의 진정성 - 깊은 사색으로 이끄는 36편의 에세이
김종진 지음 / 효형출판 / 2023년 6월

책을 읽은 내내 내 머릿속에 맴돌던 장소와 공간은 내가 태어났고 열두 살까지 살았던 고향이었다. 면 소재지였다. 휴전선 부근이라 군인들을 흔했다. 대북 대남방송이 섞여 온종일 들렸고 동산이나 들판엔 북한에서 보내온 삐라가 지천이었다.

'세상 모든 장소와 공간에는 그곳만의 맛과 향기와 모양과 소리와 감촉이 있다. 이를 풍부하게 감각하는 일은 우리 존재의 층위를 깊게 만든다. (p. 5)'

내가 살던 집 건너편에 초등학교가 있었고, 우리 집 장독대 뒤쪽 집에는 고모님 살고 계셨다. 그 뒤엔 옷 장사를 하던 친구네 집, 솜틀집, 멋지게 국수를 널어 놓은 방앗간이 이어졌고 그 앞으로 방첩대가 있었다. 할머니 댁에 갈 때는 서낭나무가 있는 언덕을 지나가야 했다. 무서워 멀찍이 돌아다녔다.

오일장이 열리는 날이면 우물 옆에 자리한 신기료 아저씨와 뻥튀기 아저씨 인기가 제일이었다. 신 깁는 모습을 보노라면 시간 가는 줄 몰랐고 옆에서 뻥 소리가 날 때마다 뛰어가 흩어진 뻥튀기를 주워 먹었다.

고향의 마을에 대한 기억들이 무수히 계속된다. 지도가 내 머릿속에 선명하다. 지나다니는 동네 사람들의 모습이 언제가 본 영화처럼 스쳐 지나간다. 냄새도 집집마다 달랐다. 그곳을 기억하는 모든 감각이 되살아났다.


공간 미학을 가르치는 김종진 교수는 공간을 사유하는 서른여섯 편의 이야기를 <공간의 진정성>에 글로 담았다. '거닐고 머무름', '빛과 감각', '기억과 시간'이라는 소주제로 콜라주 했다.

'공간은 이렇게 우리를 거닐고 머물게 한다. 짧은 시간으로 보면 이곳저곳으로 이동하고 머문다. 하루를 보면 아침에 집을 나서 일을 하고 저녁에 돌아온다. 사람의 일생으로 보면 땅에서 태어나 한평생 거닐다 다시 땅으로 돌아간다. (p. 45, 46)'

고모님 댁은 볼거리, 먹거리가 많아 어린 나를 머물게 하는 곳이었다. 시선은 고모님의 손에서 만들어지는 곱디고운 한복에 고정되어 있지만, 다리 꼬고 누운 내 생각은 이리저리 헤매며 돌아다녔다.

'그늘은 그림자와 다르다. 그림자는 빛과 대비를 이루는 말로, 보통 물체에 가려 빛을 받지 못하는 상태나 부분을 뜻한다. 반면 그늘은 빛이 없는 상태나 부분이 아니다. 그늘은 빛도 어둠도 아닌, 즉 빛과 어둠의 개념으로 해석할 수 없는 상태다. (p. 97, 98)'

가운데 넓은 마당이 차지한 할머니 댁에는 항상 빛도 어둠도 아닌 그늘진 마루와 방이 있었다. 그늘은 서늘함과 약간의 눅눅함을 지녔다. 햇빛이 문에 바른 창호지가 통과하는 순간 검은 먹이 번지듯 만들어진 그늘이다.

'칼비노는 도시 공간과 사물의 의미를 삶과의 관계에서 찾는다. 계단 형태나 크기는 중요하지 않다. 대신 그 계단과 특정 사건의 만남이 중요하다. 어떤 사람은 그 계단에서 넘어져 다리를 다쳤다. 또 어떤 사람은 조용한 밤, 연인과 그곳에서 사랑의 대화를 나누었다. 두 사람에게 계단은 같은 의미일 수가 없다. (p. 157)'

고향에 다른 아이들 보다 발달이 좀 늦은 동갑내기 여자아이가 있었다. 어느 누구도 그 아이가 놀아주지 않으니 심심해했다. 그 아이는 우리 집 문지방에 걸터앉아 문지방 틈 고운 흙을 손가락으로 이리저리 흩으며, 그중 내가 제일 만만했던지 날 불러내곤 했다. '~야 빨리 나와'라는 말을 '~야 빵 나와'로 말했다. 우리 집 문지방은 조그만 여자아이가 걸터앉곤 하는 의자로 내 기억에 새겨졌다.


공간에 대한 사색을 어쩜 이리도 다양한 경로로 다채롭게 할 수 있을까? 오감을 동원해 장소와 공간의 경험을 포착한 글이다. 사유의 폭과 깊이가 남다른 에세이여서인지 큰 울림이 가슴에 전해진다. 저자의 풍부한 글에 덩달아 나의 사유도 깊어진다.

기분을 다스리는 100가지 심리 도구

내 기분 사용법 - 불안을 다스리고, 자존감을 높이는 100가지 심리 도구
사샤 바힘 지음, 이덕임 옮김 / 어크로스 / 2023년 7월

내 기분에 영향을 받아 가족 또는 회사 팀원들 기분이 잡친다면? 혹은 눈치 보며 내 기분을 살핀다면? 어느 날 갑자기 이런 생각이 들었다. 그래서 사무실에 들어가기 전 잠시 문 앞에 멈춰 서서 심호흡하며 기분 전환했다. 퇴근할 때는 회사의 기분을 집으로 가져가지 않으려고 엘리베이터 거울을 보며 표정을 바꾸곤 했다. 물론 늘 이런 행동을 한 건 아니지만 많은 노력을 기울였다.

실수를 쉽게 떨쳐버리지 못하는 편이다. 결과가 좋지 않으면 내 책임이 크다고 여긴다. 쓸데없는 생각이 많고, 말 한마디에 쉽게 상처받으며, 그 기분이 오래간다. 속으로 혼자 삭히느라 힘들다.

남들은 당차고, 침착하며, 걱정이 없어 보이고, 늘 자신감이 넘쳐 보인다. 그래서 주변 사람들의 성격을 다짜고짜 부러워한다.


심리치료사인 저자는 기분도 결국 습관이라고 한다. 그래서 내 감정을 잘 파악하기만 한다면, 그 상황에 맞는 심리 도구를 활용해 적절히 대처할 수 있다고 강조한다. 불안을 다스리고 자존감을 높이는 등 감정을 관리할 수 있는 100가지 비밀의 심리 도구를 '마음 주치의' 사샤 바힘은 <내 기분 사용법>에서 공개한다.


내가 흔히 갖는 감정엔 어떤 심리 도구로 처방해야 할까? 몇 가지 소개한다.

나는 약간의 실수도 받아들이지 못해 철저히 준비하는 완벽주의자에 가깝다. 처방전은 그 예상되는 실수를 과감하게 해보라는 것이다. 실수해 보면 결과가 내 걱정과 달리 그리 심각하지 않다는 알게 될 것이고, 완벽주의가 더 많은 실수를 불러올 수 있어 오히려 덜 완벽한 전략이 성공적일 수 있다는 사실을 깨닫게 될 거라는 것이다.

잡생각을 쉽게 버릴 수 없다면? 제시한 세 가지 심리 도구 중에 하나는, 비치볼을 물속으로 집어넣으려 힘을 주면 줄수록 더욱더 거세게 떠오를 테니, 밀고 들어오는 잡념을 그냥 순수히 받아들이라는 처방이다. 그러면 역으로 생각에서 벗어날 확률이 높으니 말이다.

두려움을 두려워하지 않으려면? 두려움을 직면해 통제할 수 있는 능력을 내가 갖고 있는 경험하는 것이 현명한 방법이다.

'파울 바츨라비크는 그의 저서 <불행으로의 안내>에서 10초마다 손뼉을 치는 한 남자의 이야기를 들려준다. 그런 행동을 하는 이유를 묻자 다음과 같이 설명한다.
"코끼리를 겁주어 쫓아버리기 위해서죠."
"코끼리요? 하지만 여기에는 코끼리가 없는데요?"
"바로 그거죠! 그래서 없어졌잖아요!" (p. 315)'

두려움을 직면하지 않는다면 두려움을 느낄 때마다 손뼉을 쳐야 하고, 박수로부터 자유롭지 못한 그 손으로 그 어떤 것도 영원히 할 수 없다.


사샤 바힘이 내놓은 100가지 심리 도구 모두가 현실적인 조언이라 매력적이다. 100가지 처방전인 담긴 구급상자와 같은 책이다. 상자를 열어 내 감정의 증상에 따라 적절한 처방전을 꺼낼 수 있다. 처방을 안다고 바로 처방대로 변화를 꾀해 효과를 보기는 어렵다. 노력이 필요하다. 하지만 내 마음을 다스리고 해결하는 처방전을 곁에 비치하고 있다는 것만으로도 안심이 된다. 고칠 수 있다는 희망이 있기 때문이다.

'하지만 그렇다 할지라도 도구 상자가 잘 보관되어 있다면 좋은 일이다. 살다 보면 '밸브 스템실'을 갑자기 교체해야 할 일도 생기지 않겠는가? 그러니 살면서 발생할 수 있는 일종의 보수공사에 대한 참고 자료로 이 책을 대하면 좋겠다. 어쩌면 당신에게 맞는 뭔가가 있을지도 모르니 말이다. (p. 374)'

달라진 삶을 살수 있는 도구, 기회가 있는데도 불구하고 불안하고 우울한 기분을 그대로 가지고 살 것인가. 아니면 내 삶의 다음 스테이지로 들어가기 전, 잠시 서서 처방전을 살펴보고 심호흡한 다음 기분을 전환하고 문을 열 것인가.

어떤 선택을 할 것인가

Yes Man No Man
김선우.조성빈 지음 / 박영스토리 / 2023년 6월

다음 세대, 즉 우리 아이들이 살아가기에 너무 좋지 않은 환경을 물려주는 것 같아 마음이 항상 불편하다. 그런데 <YES MAN NO MAN>에 등장하는 두 청년의 삶이 그 불편함을 약간이나마 해소시켜 주었다. 이 책의 두 저자 조성빈, 김선우는 같은 학교 같은 학과 선후배 사이지만 서로 다른 선택을 해 자신의 삶을 만들어 가는 과정을 말한다. 자신의 삶을 대하는 자세가 호기롭다.

기네스 펠트로 주연의 영화 <슬라이딩 도어즈, 1998년 개봉>에서 커리어 우먼인 주인공은 터무니없는 이유로 회사에서 해고당한다. 집으로 돌아오는 중 지하철을 탔을 때와 그렇지 못했을 때, 주인공 앞에 펼쳐지는 삶의 양상은 전혀 다르다.

우리 삶은 선택이 쌓여 이루어진다. 선택할 때 그 결과는 알 수 없다. 하지만 선택해야 한다. 이번에 도착하는 지하철을 타야 할지 보내고 다음 열차를 탈지를. 잠시 유보할 수도 있지만, 결국 선택해야 한다. 인생은 항상 선택의 갈림길을 제시한다.

선배들이 만들어 놓은 사회 시스템에 두 조성빈은 Yes!를 선택해 안정을, 김선우는 No!를 선택해 도전을 선택했다. 좋아하는 일을 선택했고 이와 달리 잘하는 일을 선택했다. 만들어진 길을 선택해 걸어간 반면에 만들어서 가는 길을 선택했다.

인생에 잘한 선택, 그렇지 못한 선택을 없다. 다만 선택의 결과를 바라보는 자세에 따라 희비가 교차한다. 이 책을 읽고 기분이 좋아진 이유는 서로 다른 선택을 했지만 그 결과를 바라보는 두 저자의 자세 때문이다. 후회 없는 당당함이 차고 넘친다.

많은 청년들이 이 두 저자의 선택을 읽었으면 좋겠다. 그리고 인생에서 좌절을 지워버리길 바란다.