그만하면 용하다

아이들은 왜 수학을 어려워할까? - 발달신경생리학자가 들여다본 아이들의 수 세계
안승철 지음 / 궁리 / 2010년 7월

* 딸아, 그만하면 용하다.

 이 책은 출간되자마자 구입하였습니다.- 왜냐하면 제가 기다렸던 책이므로.

 저는 수학에 관하여 관심이 높았던 반면 주위 사람들은 수학(산수)를 시험과목 정도로 생각했고 저의 수학적, 논리적 욕구를 충족시킬 수 없었습니다. 반면 저는 공감 능력이나 신체 활동 능력이 현저히 떨어졌습니다. 제가 어렸을 때는 그 사실이 꽤 불편했습니다. (흔히 말하는 논리수리 지능, 언어지능, 공간지능이 높고 신체 지능, 공감共感 지능이 낮았다. - 즉 학교 시험은 잘 보고 사람을 잘 못 사귀는 타입. 스스로를, 가끔은 남이 자폐라고 부른다. - 지금은 치매로 넘어가고 있는 중.)

 왜 남들은 내가 궁금해 하는 것에 궁금해 하지 않는 걸까? 왜 나는 운동을 못해 친구들과 어울리기 힘든 걸까? 하지만 제가 조금 큰 후에는 사람마다 소질과 적성이 다르다는 것을 알게 되었습니다.

 이를 내면화하는 과정은 다분히 생물학적이다. ; 그렇다면 언어, 음악, 생물학적이지 않은 것이 어디 있단 말인가? (선천적 능력 중심으로 해석하는 것은 요즘 유행이기도 하고.)

 그 다음에 갖게 된 질문은 그렇다면 어떤 것이 평균적일까? 그 평균은 어떻게 생겨난 것일까? 육아일기 100810는 이 책을 읽었기 때문에 가능한 통찰입니다. ;

* 육아일기 http://blog.aladin.co.kr/maripkahn/4000974

 이 책의 장점은 다른 서평에 많이 있기 때문에 생략하고 저에게 준 것은 아이의 수학적 능력을 평가할 기준이 마련해 주었습니다. 그러므로 앞으로 생길 수도 있었던 저의 조급함도 사라졌습니다.

 아이들만 수학을 어려워하나 어른들도 어려워하지. 그 이유는 수학은
 p126 (계산을 익히는 과정은 수 감각적) 본능과 거리가 있다.

cf 아무리 생각해 봐도 수학 시험 숙달을 위한 수학 보습 학원은 있어도 수학을 위한 학원은 없을 듯 싶다.

* 수학의 본질 ; http://blog.aladin.co.kr/maripkahn/4409118

초등학교 수학 개념 정리

초등학생이 꼭 알아야 할 수학원리
이한.장은주 지음 / 좋은벗 / 2004년 4월

* 초등학교 수학의 개념 정리
- 어린이와 수학이라는 어려운 조합의 훌륭한 요점

 이 책을 (정확히) 어떤 동기에 구입하게 되었는지 모르겠지만, 수학과 어린이의 교점에 있는 책으로 처음 구입하였습니다. 어린이용 도서이지만 ‘괜찮은 책이다’라는 느낌과 ‘깔끔하다’는 느낌을 받았습니다. 그리고 (어느 정도의 시간이 흐른 후) 어린이 수학교육과 관련된 책 3권을 한꺼번에 구입을 했습니다. <수학 잘하는 아이들의 비밀 수학>, <우리아이 수학약점>, <수학 박물관>입니다. 만약 <초등학생이 꼭 알아야 할 수학원리>, 이 책에서 불만스러웠다면 위 3권의 책은 구입하지 않았을 것 같습니다. 뒤에 구입한 3권의 책은 책마다 장단점이 있지만 조금 불만족스러웠습니다.

 제가 좋아하는 책 중 하나가 <화이트 헤드의 수학에세이 ; An Introduction to Mathematics>입니다. 이 책을 읽을 때, 중고등학교 6년 (초등학교 산수까지 포함한다면 12년) 동안 배운 수학이 정리되는 느낌이었습니다. (즉 우리나라 고등학교까지 수학을 배운 것은 수학에 입문할 준비가 되었다는 뜻이다.)

 위에 언급한 3권을 책을 읽은 후 다시 <초등학생이 꼭 알아야 할 수학원리>를 읽었는데, 앞에 책에서 실망한 탓인지 이 책이 더 괜찮게 보이며 <화이트 헤드의 수학에세이>와 비슷한 느낌을 받았습니다. 초등학교 수학을 한번 정리하는 느낌이랄까, 그러면서도 완벽하다는 느낌. 만약 이 책을 읽고 어려워하면서 중학교 입학했다면 수학적 개념 없이 문제만 풀고 진학한 것이라는 생각마저 듭니다.

 단지 곤란한 점은 몇 학년에 이 책을 읽을 것이냐 하는 것과 이 책을 읽고 이해하지 못한 어린이에게 어떻게 설명할 것이냐는 문제로 남습니다. 그럼에도 불구하고 어린이와 수학이라는 잘 어울리지 못하는 조합에 이런 책이 있다는 것은 훌륭합니다.

왕도가 없다

수학 잘하는 아이들의 비밀 수학
사쿠라이 시오미 지음, 김정환 옮김 / 세상모든책 / 2010년 11월

* 왕도가 없다.

 유클리드의 ‘기하학에는 왕도가 따로 없다.’는 말이 오늘날에는 ‘수학에는 왕도가 없다.’나 ‘학문 (또는 공부)에는 왕도가 없다.’로 확장되어 사용되기도 합니다. <수학 잘하는 아이들의 비밀 수학>을 읽은 후 정말 ‘기하(수학)는 왕도가 없구나’라는 생각을 하게 되었습니다. 저는 국어 공부도 결국에는 혼자 하는 것이고 영어 공부도 혼자 하는 것입니다. 수학이라고 해서 왕도가 없고 다른 과목은 왕도가 따로 있다고 생각지 않았습니다.

 그런데 수학에 관하여 공부하는 사람에게 도움이 줄만한 것이 없을까하여 이것 저것 읽고 있습니다. '비밀 수학'이라는 제목에 수학 교수敎授법에 관해 어떤 통찰을 얻고자 했습니다. 수학을 잘하는 것과 수학을 잘 가르치는 것은 엄연히 다릅니다. 그러나 딱히 이것이 요령( 마치 무협의 비급과 같은 것)은 없다는 생각이 듭니다.

 책의 구체적인 내용 [예제 1]에 대하여 말씀드리면, 저는 문제를 읽고 방정식을 세운 다음 계산을 하여 답을 냅니다. 이런 훈련을 단순한 계산식으로부터 산술, 기하의 문제로 유추도 가능합니다.

 문제) 2+3 = ? 답은 5

 이 문제는 이렇게 생각할 수 있습니다. 사과 2개와 사과 3개, 모두 몇 개? 이것은 산술문제입니다. 그러나 2m의 거리 간 다음 3m를 다시 가게 되면 총 5m라고 생각할 수 있습니다. 이것은 기하문제라고 생각할 수 있습니다. (이 과정의 역과정을 거치면 응용 문제와 풀이라고 할 수 있겠지요.)

 예제 1은 저의 경우 연립 방정식으로 풀려 할 것인데, 책의 문제 해설은 면적을 도입하여 기하 문제처럼 해설하였습니다. 그런데, 수학의 본질은 산술과 기하를 관통하는 보편성입니다. 제 경험에 비추면 산술을 먼저 배우고 수학을 이해하고 기하에 적용하였습니다. 이런 통찰력은 초등학교 때는 없었습니다. (뭐야 난 바보야?)

 이 책의 중간 부분에서는 수학의 체험을 강조하기도 하는데, 초등학교에서는 가능할지 모르겠으나 수학의 본질을 추론으로 생각해 볼 때, (흥미는 유발할 수 있겠으나) 수학적이지도 못하고 고등학교 수학은 체험할 수 도 없는 것도 많습니다. 다음 방정식이 반드시 한 개 이상의 해를 갖는 것을 증명하시오. 이것은 무엇으로 체험하나요? 직감력에 대한 이야기도 있는데, 이 책에서 직감력을 기르는 방법을 이야기하지도 않았습니다. (무엇을 한다고 해서 길러지는 것도 아니지만.)

 책을 읽고 저 혼자 곰곰이 생각한 결과, ‘수학 공부는 혼자 하는 것이다.’라는 (이상한) 결론 내리게 됩니다. 단지 주위 사람( 또는 부모)으로서 할 수 있는 것은 당사자에게 흥미를 잃지 않게 하는 것 정도라고 생각합니다. (그런데, 저의 경우는 주위 사람들이 저의 고민을 도와주지 않아서 혼자 고민하는 습관이 생겼고 그것이 수학 공부에 도움이 되었다고 생각하는데..... )

관록이 보이는 책

우리아이 수학약점 - 엄마가 먼저 알고 쉽게 잡아주는
송재환 지음 / 글담출판 / 2010년 12월

* 관록이 보이는 책
- 경험이 우러나오는 수학 교육 현장

 저는 다른 사람의 이야기를 들을 때, 이야기에 관하여 사실판단, 가치판단, 이야기한 사람의 감정으로 평가합니다. 그 중에서 감정은 일부로 배제하기도 합니다. 특히 상대방에서 부정적인 감정이 실려 올 경우에 감정 평가를 무시하기도 합니다. (저는 말하는 정보와 전해지는 감정이 틀리면 매우 불편합니다.)

 최근에 TV 배우 하지원과 김태희의 연기에 관하여 인터넷 일간지에 실린 글을 읽었습니다. ;
http://www.mediatoday.co.kr/news/articleView.html?idxno=93558

 저는 사실판단, 가치판단, 감정 순서로 정보를 처리하였습니다. 가치 판단은 저의 지식에 의존한 것이니, 상대방의 이야기 중 사실fact만 뽑아내고, 사실여부의 판단 다른 경로의 자료를 통해 방증하게 됩니다. 감정에 관한 것은 저의 오랜 숙제였습니다. 한때는 EQ라는 이름으로 유행을 탔고 지능의 한 분야에 공감각이 있습니다.

 <우리아이 수학약점>을 처음 읽기 시작할 때는 아이의 수학 지도 또는 학습에 관한 이야기를 기대하고 읽었습니다. 그런데, 다 읽은 후의 감상은 구체적인 정보보다 초등학교 수학의 교육에서의 오랜 경험이 더 강하게 다가왔습니다. 초등학교 수학 교육 현장에서 우러나오는 관록이 느낌으로 전달되었습니다. 아직 초등학교 자녀를 둔 것이 아니라 이 책이 얼마나 실질적으로 아이의 수학 실력에 상향될지 모르겠으나 초등학교 수학 교육 과정은 한 눈에 보입니다.

p 145 좔좔 암기해야 하는 도형 ; 마립간 - 이해가 되면 암기도 쉽다.

* 수학에서의 정의, 과학분야에 과학적 정의(scientific definition)라는 것이 있습니다. 이것은 어원과 다르고 일상 용어의 의미와 다릅니다.
 사각형의 경우 어원은 4개의 각이 있는 도형이지만 정의는 4개의 선분으로 이루어진 다각형입니다. 당뇨병의 경우 소변에 당이 나오는 것이 어원이지만 정의는 소변과 관계없이 공복 혈당이 126mg/dL 이면 당뇨병입니다.

아이와 수학의 조합

수학박물관 - 체험하고 즐기며 원리를 깨우치는 ㅣ 박물관은 살아있다 1
알브레히트 보이텔스파허 지음, 김희상 옮김, 강문봉 감수 / 행성B아이들 / 2010년 12월

* 아이와 수학의 조합
- 은 어렵다.

 요즘 책을 구입할 때는 신중하게 생각지 않아서 그런지 기대에 못 미치는 책들이 많습니다. (하기야 구입한 모든 책이 감동적일 것이라는 생각하는 것도 무모한 것이지요.)

 우선 제가 책을 읽는 이유는 재미, 희열 때문입니다. 우선 저의 궁금증을 주위사람들이 해결해 주지 못합니다. 예를 들어 왜 사과는 땅에 떨어지는가? 이런 질문에 답을 구할 수 있는 책을 읽으면 즐겁습니다. (철학적 유희) 그런데, 이 만유인력이 F=ma라는 식을 통해 표현되며 보편적이라는 것을 알게 되었습니다. 무엇인가 완벽하게 이루어진 것을 보면 즐거워합니다. (수학적 유희) 그것이 전부인 줄 알았습니다. 그런데, 그것이 다가 아니더군요. 아인슈타인의 상대성 이론이 있다고 합니다. 제가 느끼지도 못했고, 저의 사고로는 도저히 상상이 안 되는 것들이 있다는 것을 깨닫게 되고 즐거워합니다. (물리학적 유희)

 앞에서 이야기한 것과 달리 애매와 모호를 즐기기도 합니다. (애매와 모호는 철학 용어로는 다른 의미가 있습니다.) 시詩나 유머가 해당합니다. (문학적 유희) 이미 다 알고 있는 내용이 (새로운) 표현에 따라 즐겁기도 합니다. (예술적 유희)

 제가 요즘 수학에 관련된 도서를 읽을 때의 어려움은 아는 내용이 이미 다 아는 것이고 조금만 깊이 들어가면 무슨 내용인지 도무지 모르겠습니다. 수학에 관해서는 철학적, 수학적 유희는 종료되었고, 물리학적 유희는 능력이 안 됩니다.

 아이가 크게 되면 저와 무엇을 공유할 수 있을지 모르겠으나 제가 수학을 좋아하니 아이도 수학을 좋아했으면 하는 기대가 있습니다. 이미 타고난 성향은 어쩔 수 없지만 아이가 수학에 관해 이것저것을 물어 온다면 아이의 눈높이 맞춰서 잘 이야기해 주는 아빠가 되기 위해 아이들 수학 책 몇 권을 읽기 시작했습니다. (수학에 관한 예술적 유희를 구하고 있는 셈이지요.)

 <수학 박물관>은 그런 의미로 구입했습니다. 알라디너의 별점도 모두 5개를 주셨습니다. 그런데 저는 왜 이렇게 이 책이 부실해 보일까요? 수학의 본질을 설명한 것도 아니고 아이의 눈높이에 맞춰진 것인지도 의심스럽고 어른의 책이라고 보기에는 내용이 너무 없고. (누구를 대상으로 한 책인가요? 초등학교 고학년, 중학생, 고등학생, 학부모? 알라딘에서는 초등학생으로 분류해 놓았는데, 초등학생이 지수나 2차 이상의 방정식, 연속의 의미를 배우나요?)

 내가 이상한 것인가? - 기대를 안 했으면 모를까, 기대에 못 미쳐 별점2개
(마립간 정의에 의해 임의로 사용된 용어가 있음.)